Question

設數列{a_n}是首項為4，公差為1的等差數列，S_n為數列{b_n}的前n項和，且S_n=n²+2n．
（1）求數列{a_n}及{b_n}的通項公式a_n和b_n；
（2）f(n)=

n+3，n為正奇數 2n+1，n為正偶數

問是否存在k∈N^*使f（k+27）=4f（k）成立．若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；
（3）對任意的正整數n，不等式

a

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+ 1 bn )

-

1

n-1+an+1

≤0恒成立，求正數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接利用等差數列通項公式代入數值即可求出數列{a_n}的通項公式，根據Sn與a_n的固有關系an=

s1 n=1 sn-sn-1 n≥2

求{b_n}的通項公式
（2）為將f（k+27）=4f（k）化簡，應分k是正奇數、正偶數兩種情況分類化簡．再判斷解的情況．
（3）將不等式變形并把a_n+1=n+4代入得a≤

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)…(1+

1

bn

）．設g（n）=

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

）只需a小于或等于g（n）的最小值即可．考慮到g（n）解析式無法進一步化簡整理，故可以通過作商法研究其單調性，求出最小值，得出正數a的取值范圍．

解答：解：（1）a_n=a₁+（n-1）d=4+n-1=n+3．
當n=1時，b₁=S₁=3．
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=n²+2n-（n-1）²-2（n-1）=2n+1．
當n=1時上式也成立，
∴b_n=2n+1（n∈N^*）．
所以a_n=n+3，b_n=2n+1．
（2）假設符合條件的k（k∈N^*）存在，
由于f（n）=

n+3，n為正奇數 2n+1，n為正偶數

∴當k為正奇數時，k+27為正偶數
由f（k+27）=4f（k），得2（k+27）+1=4（k+3）．∴2k=43，k=

43

2

．（舍）
當k為正偶數時，k+27為正奇數，
由f（k+27）=4f（k），得（k+27）+3=4（2k+1）．即7k=26，∴k=

26

7

．（舍）
因此，符合條件的正整數k不存在
（3）將不等式變形并把a_n+1=n+4代入得a≤

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)…(1+

1

bn

）．
設g（n）=

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

）．∴

g(n+1)

g(n)

=

2n+3

2n+5

(1+

1

bn+1

)=

2n+3

2n+5

×

2n+4

2n+3

=

2n+4

2n+5 2n+3

．
又∵

(2n+5)(2n+3)

＜

(2n+5)+(2n+3)

2

=2n+4，∴

g(n+1)

g(n)

＞1，即g（n+1）＞g（n）．∴g（n）隨n的增大而增大，故g（n）_min=g（1）=

1

5

(1+

1

3

)=

4 5

15

．∴0＜a≤

4 5

15

．

點評：本題考查等比數列、等差數列通項公式求解，分段函數知識、數列的函數性質、不等式恒成立問題．考查分類討論、分類參數的思想與方法．