Question

（本題滿分12分）
雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，兩條漸近線分別為，經過右焦點垂直于的直線分別交于兩點．已知成等差數列，且與同向．
（Ⅰ）求雙曲線的離心率；
（Ⅱ）設被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程．

Answer 1

（Ⅰ）e==；（Ⅱ）。

試題分析：（Ⅰ）設，，
由勾股定理可得：            
得：，，
由倍角公式，解得,則離心率．
（Ⅱ）過直線方程為,與雙曲線方程聯立
將，代入，
化簡有 

將數值代入，有,解得 
故所求的雙曲線方程為．
解法二:解:（Ⅰ）設雙曲線方程為(a>0,b>0)，右焦點為F(c,0)(c>0)，則c²=a²+b²
不妨設l₁：bx-ay=0，l₂：bx+ay=0

則         ，

因為²+²=²，且=2-，
所以²+²=(2-)²，
于是得tan∠AOB=。
又與同向，故∠AOF=∠AOB，
所以       
解得        tan∠AOF=，或tan∠AOF=-2（舍去）。
因此       
所以雙曲線的離心率e==
（Ⅱ）由a=2b知，雙曲線的方程可化為
x²-4y²=4b²                               ①
由l₁的斜率為，c=b知，直線AB的方程為
y=-2(x-b)                             ②
將②代入①并化簡，得
15x²-32bx+84b²=0
設AB與雙曲線的兩交點的坐標分別為(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，則
x₁+x₂=，x₁·x₂=               ③
AB被雙曲線所截得的線段長
l= ④
將③代入④，并化簡得l=，而由已知l=4，故b=3，a=6
所以雙曲線的方程為
點評：中檔題，涉及直線與圓錐曲線的位置關系問題，往往要利用韋達定理。弦長問題，往往利用弦長公式，通過整體代換，簡化解題過程。