Question

（2011•廣州一模）已知定義域為R的函數f（x）滿足①f（x）+f（x+2）=2x²-4x+2，②f（x+1）-f（x-1）=4（x-2），若f(t-1)，-

1

2

，f(t)成等差數列，則t的值為

2或3

．

Answer 1

分析：由f(t-1)，-

1

2

，f(t)成等差數列，根據等差數列的性質列出關系式，根據f（x+1）-f（x-1）=4（x-2），設x-1=m，解出x，代入得到一個關系式，記作（i），又根據f（x）+f（x+2）=2x²-4x+2，記作（ii），由（ii）-（i）化簡即可得到f（x）的解析式，利用求出的解析式化簡前面的關系式，得到關于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．

解答：解：因為f(t-1)，-

1

2

，f(t)成等差數列，所以f（t-1）+f（t）=-1，
又f（x+1）-f（x-1）=4（x-2），令x-1=m，則x=m+1，
得f（m+2）-f（m）=4（m-1），即f（x+2）-f（x）=4x-4，（i）
而f（x）+f（x+2）=2x²-4x+2，（ii）
由（ii）-（i）得：f（x）=

1

2

（2x²-8x+6）=x²-4x+3，
∴f（t-1）+f（t）=t²-2t+1-4t+4+t²-4t+3=2t²-10t+11=-1，
即t²-5t+6=0，解得t=2或t=3．
故答案為：2或3

點評：此題考查學生掌握等差數列的性質，掌握函數值的意義，是一道基礎題．靈活運用題中的兩個條件推導出f（x）的解析式是解本題的關鍵．