Question

已知數列{a_n}是等差數列，S_n為其前n項和，且滿足S₂=4，S₅=25，數列{b_n}滿足b_n=

1

an-an+1

，T_n為數列{b_n}的前n項和．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若對任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，求實數λ的取值范圍；
（3）是否存在正整數m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設數列的首項為a₁，公差為d，利用S₂=4，S₅=25，建立方程組，即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）分類討論，分離參數，利用基本不等式及數列的單調性，即可求實數λ的取值范圍；
（3）利用等比數列的性質，建立方程，求出m的值，從而可求n的值．

解答：解：（1）設數列的首項為a₁，公差為d，則
∵S₂=4，S₅=25，
∴

2a1+d=4 5a1+10d=25

∴a₁=1，d=2
∴a_n=2n-1；
（2）①當n為偶數時，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，即需不等式λ＜2n+

8

n

+17恒成立．
∵2n+

8

n

≥8，等號在n=2時取得． 
∴此時λ需滿足λ＜25．
②當n為奇數時，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，
即需不等式λ＜2n-

8

n

-15恒成立．
∵2n-

8

n

是隨n的增大而增大，∴n=1時，2n-

8

n

取得最小值-6．
∴此時λ需滿足λ＜-21．
綜合①、②可得λ的取值范圍是λ＜-21．
（3）T1=

1

3

，Tm=

m

2m+1

，Tn=

n

2n+1

，
若T₁，T_m，T_n成等比數列，則(

m

2m+1

)2=

1

3

•

n

2n+1

，即

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

．…12分
∴

3

n

=

-2m2+4m+1

m2

＞0，
即-2m²+4m+1＞0，------------------------14分
∴1-

6

2

＜m＜1+

6

2

．
又m∈N，且m＞1，所以m=2，此時n=12．
因此，當且僅當m=2，n=12時，數列{T_n}中的T₁，T_m，T_n成等比數列．--------16分

點評：本題考查數列的通項，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．