Question

已知函數
（1）求的最小值；
（2）設，．
（ⅰ）證明：當時，的圖象與的圖象有唯一的公共點；
（ⅱ）若當時，的圖象恒在的圖象的上方，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）0；（2）（ⅱ）

試題分析：（1）先求的導數，利用求出的單調區間，從而判斷出函數在何處取得最小值以及最小值是多少.（2）（ⅰ）當時，的圖象與的圖象交點的個數等于函數的零點的個數；可利用導數探究函數的單調性，作函數有一零的證據之一；（ⅱ）當時，的圖象恒在的圖象上方，等價于在上恒成立，利用的導數研究其單調性，注意參變量，對函數單調性及最值的影響，適時進行分類討論.
試題解析：（1）求導數，得f ′(x)＝e^x－1．
令f ′(x)＝0，解得x＝0．
當x＜0時，f ′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，0)上是減函數；
當x＞0時，f ′(x)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數．
故f(x)在x＝0處取得最小值f(0)＝0．                 4分
（2）設h(x)＝f(x)－g(x)＝e^x－1－x－ax²，則h′(x)＝e^x－1－2ax．[
（ⅰ）當a＝時，y＝e^x－1－x的圖象與y＝ax²的圖象公共點的個數等于
h(x)＝e^x－1－x－x²零點的個數．
∵h(0)＝1－1＝0，∴h(x)存在零點x＝0．
由（1），知e^x≥1＋x，∴h′(x)＝e^x－1－x≥0，
∴h(x)在R上是增函數，∴h(x)在R上有唯一的零點．
故當a＝時，y＝f(x)的圖象與y＝g(x)的圖象有唯一的公共點．   9分
（ⅱ）當x＞0時，y＝f(x)的圖象恒在y＝g(x)的圖象的上方
?當x＞0時，f(x)＞g(x)，即h(x)＝e^x－1－x－ax²＞0恒成立．
由（1），知e^x≥1＋x（當且僅當x＝0時等號成立），
故當x＞0時，e^x＞1＋x．
h′(x)＝e^x－1－2ax＞1＋x－1－2ax＝(1－2a)x，
從而當1－2a≥0，即a≤時，h′(x)≥0（x＞0），
∴h(x)在(0，＋∞)上是增函數，又h(0)＝0，
于是當x＞0時，h(x)＞0．
由e^x＞1＋x（x≠0），可得e^－x＞1－x（x≠0），
從而當a＞時，h′(x)＝e^x－1－2ax＜e^x－1＋2a(e^－x－1)＝e^－x(e^x－1)(e^x－2a)，
故當x∈(0，ln2a)時，h′(x)＜0，
此時h(x)在(0，ln2a)上是減函數，又h(0)＝0，
于是當x∈(0，ln2a)時，h(x)＜0．
綜上可知，實數a的取值范圍為(－∞，]．           14分