Question

已知函數f(x)= lnx x -1 (1)判斷函數f(x)的單調性 (2)設m＞0，求f(x)在[m，2m]上的最大值 (3)證明：?n∈N*不等式ln( 1+n n )e＜ 1+n n

．

Answer 1

分析：（1）利用商的求導法則求出所給函數的導函數是解決本題的關鍵，利用導函數的正負確定出函數的單調性；
（2）利用導數作為工具求出函數在閉區間上的最值問題，注意分類討論思想的運用；
（3）利用導數作為工具完成該不等式的證明，注意應用函數的最值性質．

解答：解：（1）函數f（x）的定義域是：（0，+∞）
由已知 f′(x)=

1-lnx

x2

令f′（x）=0得，1-lnx=0，∴x=e
∵當0＜x＜e時，f′(x)=

1-lnx

x2

＞0，
當x＞e時，f′(x)=

1-lnx

x2

＜0
∴函數f（x）在（0，e]上單調遞增，在[e，+∞）上單調遞減，
（2）由（1）知函數f（x）在（0，e]上單調遞增，在[e，+∞）上單調遞減
故①當0＜2m≤e即 0＜m≤

e

2

時，f（x）在[m，2m]上單調遞增
∴f(x)max=f(2m)=

ln(2m)

2m

-1，
②當m≥e時，f（x）在[m，2m]上單調遞減
∴f(x)max=f(m)=

lnm

m

-1，
③當m＜e＜2m，即

e

2

＜m＜e時
∴f(x)max=f(e)=

1

e

-1．
（3）由（1）知，當x∈（0，+∞）時，f(x)max=f(e)=

1

e

-1，
∴在（0，+∞）上恒有 f(x)=

lnx

x

-1≤

1

e

-1，
即

lnx

x

≤

1

e

且當x=e時“=”成立，
∴對?x∈（0，+∞）恒有 lnx≤

1

e

x，
∵

1+n

n

＞0，

1+n

n

≠e，
∴ln

1+n

n

＜

1

e

•

1+n

n

?ln(

1+n

n

)e＜

1+n

n

即對?n∈N^*，不等式 ln(

1+n

n

)e＜

1+n

n

恒成立．

點評：此題是個中檔題．本題考查導數在函數中的應用問題，考查函數的定義域思想，考查導數的計算，考查導數與函數單調性的關系，考查函數的最值與導數的關系，體現了等價轉化的數學思想和分類討論的思想，同時考查了學生的計算能力．