Question

（本小題滿分12分）
已知點列、、…、（n∈N）順次為一次函數圖像上的點，點列、、…、（n∈N）順次為x軸正半軸上的點，其中（0＜a＜1），對于任意n∈N，點、、構成一個頂角的頂點為的等腰三角形。

（1）數列的通項公式，并證明是等差數列；
（2）證明為常數，并求出數列的通項公式；
（3）上述等腰三角形中，是否存在直角三角形？若有，求出此時a值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）(nÎN)，證明見解析
（2）證明見解析，
（3）存在直角三形，此時a的值為、、.

（1）(nÎN),∵y_n+1-y_n=,∴{y_n}為等差數列 ………………4分
（2）因為與為等腰三角形.
所以，兩式相減得。………………7分
注：判斷得2分，證明得1分
∴x₁,x₃,x₅,…,x_2n-1及x₂,x₄,x₆ ，…，x_2n都是公差為2的等差數列，………………6分
∴ ………………10分
（3）要使A_nB_nA_n+1為直角三形，則 |A_nA_n+1|=2=2()Þx_n+1-x_n=2()
當n為奇數時，x_n+1=n+1-a，x_n=n+a-1,∴x_n+1-x_n=2(1-a).
Þ2(1-a)=2() Þa=(n為奇數，0＜a＜1)  (*)
取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n≥5，則(*)無解； ………………14分
當偶數時，x_n+1=n+a，x_n=n-a，∴x_n+1-x_n=2a.
∴2a=2()Þa=(n為偶數，0＜a＜1)  (*¢)，
取n=2，得a=,若n≥4，則(*¢)無解.
綜上可知，存在直角三形，此時a的值為、、. ………………18分