Question

已知橢圓的離心率，長軸的左右端點分別為，．
（1）求橢圓的方程；
（2）設動直線與曲線有且只有一個公共點，且與直線相交于點.問在軸上是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過定點，若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在，

試題分析：（1）由已知，得，再根據離心率求，進而求，進而根據焦點位置求橢圓方程；（2）聯立直線方程和橢圓方程，得關于的一元二次方程，由題意，列方程得，同時可求出切點坐標，再求，設軸上存在滿足條件的點，以為直徑的圓恒過定點等價于，列方程得，由題意該方程與無關，故，從而求得點坐標，本題還可以先從特殊值入手，確定定點的坐標，再證明以為直徑的圓恒過定點．
試題解析：（1）由已知    2分
，
橢圓的方程為；    4分
（2），消去，得，則，可得，設切點，則，，故，又由，得，設在上存在定點，使得以為直徑的圓恒過定點，，即    10分
，
對滿足恒成立，
，
故在軸上存在定點，使得以為直徑的圓恒過定點.  14分