Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx是R上的奇函數，且f（1）=2，f（2）=10，
（1）確定函數f（x）的解析式；
（2）用定義證明f（x）在R上是增函數；
（3）若關于x的不等式f（x²-4）+f（kx+2k）＜0在x∈（0，1）上恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由“函數f（x）是奇函數”求或找到a，b，c的關系，再結合f（1）=2，f（2）=10求解．
（2）要求用定義，則先在給定的區間任取兩個變量，且界定大小，再作差變形看符號．
（3）利用奇函數將“不等式f（x²-4）+f（kx+2k）＜0，在x∈（0，1）上恒成立”轉化為“f（x²-4）＜f（-kx-2k）
在x∈（0，1）上恒成立”再由增函數的定義轉化為“x²+kx+2k-4＜0在（0，1）上恒成立”求解．

解答：解：（1）∵函數f（x）是奇函數
∴f（-x）=-f（x）即-ax³+bx²-cx=-ax³-bx²-cx
∴2bx²=0對于任意x都成立
即b=0
∵f(1)=2，f(2)=10  ∴

a+c=2 8a+2c=10

解得a=c=1
∴函數的解析式是f（x）=x³+x    5分
（2）證明：設x₁，x₂是R上的任意兩個不相等的實數，且x₁＜x₂，
則△y=f（x₂）-f（x₁）=x₂³+x₂-x₁³-x₁=（x₂-x₁）（x₂²+x₁x₂+x₁²）+（x₂-x₁）
=(x2-x1)(

x

2 2

+

x

1

x2+

x

2 1

+1)=(x2-x1)[(x2+

x   1

2

)2+

3 x 2 1

4

+1]
∵x₂-x₁＞0，(x2+

x   1

2

)2+

3 x 2 1

4

+1＞0∴△y＞0
∴函數f（x）在R上是增函數 （10分）
（3）∵f（x²-4）+f（kx+2k）＜0
∴f（x²-4）＜-f（kx+2k）=f（-kx-2k）
又因為f（x）是增函數，即x²-4＜-kx-2k
∴x²+kx+2k-4＜0在（0，1）上恒成立．（12分）
法（一）令g（x）=x²+kx+2k-4，x∈（0，1）
則

g(0)=2k-4≤0 g(1)=3k-3≤0

  解得k≤1
∴k的取值范圍是（-∞，1]14分
法（二）上式可化為k（x+2）＜4-x²
∵x∈（0，1）即x+2＞0∴k＜

4-x2

x+2

=2-x
令U（x）=2-x，x∈（0，1）
∵U（x）=2-x在（0，1）上是減函數
∴U（x）＜1即k≤1．（14分）

點評：本題主要考查應用奇偶性來求函數解析式，應用單調性定義來證明函數的單調性，還考查了綜合運用奇偶性和單調性來解不等式的能力．