Question

選做題
（1）（矩陣與變換選做題）已知矩陣M=

1 0 0 2

，曲線y=sinx在矩陣MN對應的變換作用下得到曲線C，則C的方程是______．
（2）（極坐標與參數方程選做題）在極坐標系中，點（2，

π

2

）到直線ρsin(θ+

π

4

)+

2

=0的距離是______．
（3）（不等式選講選做題）若關于x的不等式|x-1|-|x+2|≥a的解集為R，則實數a的取值范圍是______．

Answer 1

（1）由已知得M=

1 0 0 2

，
設（x，y）是曲線y=sinx上任意一點，
點（x，y）在矩陣M對應的變換作用下變為（x'，y'），
則有

1 0 0 2

x′ y′

=

x′′ y′′

，即

x′ -2y′

=

x′′ y′′

，
所以

x=x′ y=- 1 2 y′

因為點（x，y）在曲線y=sinx上，
從而-

1

2

y′=sinx′，即y′=-2sinx′．
所以曲線C的方程為y=-2sinx．
（2）∵ρsin（θ+

π

4

)+

2

=0=0，
∴ρ（

2

2

sinθ+

2

2

cosθ）=0，
∴y+x=0，
∴點（2，

π

2

）到直線ρsin(θ+

π

4

)+

2

=0的距離?點（0，2）到直線y+x=0的距離，
∵點（0，2）到直線y+x=0的距離d=

2

2

=

2

，
∴點（2，

π

2

）到直線ρsin(θ+

π

4

)+

2

=0的距離是

2

；
（3）令g（x）=|x-1|-|x+2|，則|x-1|-|x+2|≥a的解集為R?a＜g（x）_min恒成立，
∵g（x）=|x-1|-|x+2|=

3，x≤-2 -2x-1，-2＜x＜1 -3，x≥1

，
∴g（x）_min=-3，
∴a＜-3．
∴實數a的取值范圍是（-∞，-3）．
故答案為：（1）y=-2sinx；（2）

2

；（3）（-∞，-3）．