Question

（2011•自貢三模）己知．函數f（x）=

x-4

x+1

（x≠-1）的反函數是f^-1（x）．設數列{a_n}的前n項和為S_n，對任意的正整數都有a_n=

6 f-1(Sn) -19

f-1(Sn)+1

成立，且b_n=f^-1（a_n）•
（I）求數列{b_n}的通項公式；
（II）記c_n=b_2n-b_2n-1（n∈N），設數列{c_n}的前n項和為T_n，求證：對任意正整數n都有T_n＜

3

2

；
（III）設數列{b_n}的前n項和為R_n，已知正實數λ滿足：對任意正整數n，R_n≤λn恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設條件能導出a_n+1-a_n=5a_n+1，即 an+1=-

1

4

an，所以 an=(-

1

4

)n，∴bn=

4+(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )n

．
（Ⅱ）由 bn=4+

5

(-4)n-1

，知 cn=b2n-b2n-1=

5

42n-1

+

5

42n-1+1

=

25×16n

(16n-1)(16n+4)

=

25×16n

(16n)2+3×16n-4

＜

25×16n

(16n)2

=

25

16n

，當n=1時，T1＜

3

2

；當n≥2時，Tn＜

4

3

+25×(

1

162

+

1

163

+…+

1

16n

)
＜

4

3

+25×

1 162

1- 1 16

=

69

48

＜

3

2

．
（Ⅲ）由 bn=4+

5

(-4)n-1

知R_n=b₁+b₂+…+b_2k+1=4n+5×(-

1

41+1

+

1

42-1

-

1

43+1

+…-

1

42k+1+1

)=4n+5×[-

1

41+1

+(

1

42-1

-

1

43+1

)+…+(

1

42k-1

-

1

42k+1+1

)]＞4n-1．由此入手能推導出正實數λ的最小值為4．

解答：解：（I）由題意得f^-1（x）=

x+4

1-x

（x≠1）
由a_n=

6 f-1(Sn) -19

f-1(Sn)+1

得a_n=5S_n+1…1分
當n=1時，a₁=5a₁+1，則a₁=-

1

4

又a_n+1=5S_n+1+1，
∴a_n+1-a_n=5a_n+1，
即a_n+1=-

1

4

a_n，
∴數列{a_n}是以-

1

4

為首項，以-

1

4

為公比的等比數列，…2分
∴a_n=(-

1

4

)n，
∴b_n=

4+(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )n

…3分
（II）由（I）中b_n=

4+(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )n

∴c_n=b_2n-b_2n-1=

4+(- 1 4 )2n

1-(- 1 4 )2n

-

4+(- 1 4 )2n-1

1-(- 1 4 )2n-1

=

25×16n

(16n)2+3×16n-4

＜

25×16n

(16n)2

=

25

16n

…4分
又∵b₁=3，b₂=

13

3

，
∴c₁=

4

3

，即當n=1時，T_n＜

3

2

成立…5分
當n≥2時，T_n＜

4

3

+

n

k=2

25

16k

=

4

3

+25×

1 162 [1-( 1 16 )n-1]

1- 1 16

＜=

4

3

+25×

1 162

1- 1 16

=

69

48

＜

3

2

成立
（Ⅲ）由（Ⅰ）知 bn=4+

5

(-4)n-1

一方面，已知R_n≤λn恒成立，取n為大于1的奇數時，設n=2k+1（k∈N⁺）
則R_n=b₁+b₂+…+b_2k+1=4n+5×(-

1

41+1

+

1

42-1

-

1

43+1

+…-

1

42k+1+1

)
=4n+5×[-

1

41+1

+(

1

42-1

-

1

43+1

)+…+(

1

42k-1

-

1

42k+1+1

)]＞4n-1
∴λn≥R_n＞4n-1，即（λ-4）n＞-1對一切大于1的奇數n恒成立
∴λ≥4否則，（λ-4）n＞-1只對滿足 n＜

1

4-λ

的正奇數n成立，矛盾．
另一方面，當λ=4時，對一切的正整數n都有R_n≤4n
事實上，對任意的正整數k，有
b2n-1+b2n=8+

5

(-4)2k+1-1

+

5

(-4)2k-1

=8+

5

(16)k-1

-

20

(16)k+4

=8-

15×16k-40

(16k-1)(16k+4)

＜8
∴當n為偶數時，設n=2m（m∈N⁺）
則R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2n-1+b_2n）＜8m=4n
當n為奇數時，設n=2m-1（m∈N⁺）
則R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2n-3+b_2n-2）+b_2n-1
＜8（m-1）+4=8m-4=4n
∴對一切的正整數n，都有R_n≤4n
綜上所述，正實數λ的最小值為4

點評：本題主要考查數列、不等式等基礎知識、考查化歸思想、分類整合思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力．