Question

已知函數．
（1）當且，時，試用含的式子表示，并討論的單調區間；
（2）若有零點，，且對函數定義域內一切滿足的實數有．
①求的表達式；
②當時，求函數的圖像與函數的圖像的交點坐標．

Answer 1

（1）時，的單調增區間是，，單調減區間是；時，的單調增區間，，單調減區間為；
（2）①；②.

試題分析：（1）先求出導函數，進而由，于是，針對分、兩種情況，分別求出、的解即可確定函數的單調區間；（2）①先由條件得到的一個不等關系式，再由有零點，且對函數定義域內一切滿足的實數有，作出判斷的零點在內，設，則可得條件即，結合即可確定的取值，進而可寫出的解析式；②設，先通過函數的導數確定函數在的單調性，進而求出在的零點，進而即可求出與的圖像在區間上的交點坐標.
（1）          2分
由，故
時，由得的單調增區間是，
由得單調減區間是
同理時，的單調增區間，，單調減區間為    5分
（2）①由（1）及（i）
又由有知的零點在內，設，
則即
所以由條件
此時有      8分
∴     9分
②又設，先求與軸在的交點
∵，由得
故，在單調遞增
又，故與軸有唯一交點
即與的圖象在區間上的唯一交點坐標為為所求    13分.