Question

已知函數：f(x)=

x-a+1

a-x

（a為常數）．
（1）當f（x）的定義域為[a+

1

2

，a+1]時，求函數f（x）的值域；
（2）試問：是否存在常數m使得f（x）+f（m-x）+2=0對定義域內的所有x都成立；若有求出m，若沒有請說明理由．
（3）如果一個函數的定義域與值域相等，那么稱這個函數為“自對應函數”．若函數f（x）在[s，t]（a＜s＜t）上為“自對應函數”時，求實數a的范圍．

Answer 1

分析：（1）把給出的函數式拆項變形，得到f(x)=

-(a-x)+1

a-x

=-1+

1

a-x

，然后直接由函數的定義域求得函數的值域；
（2）直接把f(x)=

x-a+1

a-x

代入f（x）+f（m-x）+2=0整理，由f（x）+f（m-x）+2=0對定義域內的所有x都成立得到常數m的值；
（3）由（1）知函數f（x）為（a，+∞）上的增函數，根據“自對應函數”的定義得到f（s）=s，f（t）=t，則有f（x）=x有兩個大于a的相異實根，然后利用方程跟的情況列式求解隨機數a的取值范圍．

解答：解：（1）f(x)=

-(a-x)+1

a-x

=-1+

1

a-x

當a+

1

2

≤x≤a+1時，
-a-1≤-x≤-a-

1

2

，
-2≤

1

a-x

≤-1，
-1≤a-x≤-

1

2

，
∴-3≤-1+

1

a-x

≤-2．
即f（x）的值域為[-3，-2]；
（2）假設存在m使得f（x）+f（m-x）+2=0成立
則f（x）+f（m-x）+2
=-1+

1

a-x

+-1+

1

a-(m-x)

+2
=

2a-m

(a-x)(x-m+a)

=0恒成立，
∴m=2a，
∴存在常數m=2a滿足題意；
（3）因為函數f（x）在（a，+∞）上為增函數，
又[s，t]⊆（a，+∞），∴f（x）在[s，t]上為增函數，
f（x）的值域為[f（s），f（t）]，又函數f（x）在[s，t]上為“自對應函數”，
[s，t]=[f（s），f（t）]
∴f（s）=s，f（t）=t
∴f（x）=x有兩個大于a的相異實根
即：x²+（1-a）x+1-a=0有兩個大于a的相異實根
∴

△=(1-a)2-4(1-a)＞0 a-1 2 ＞a a2+(1-a)a+1-a＞0

，
解得：a＜-3．

點評：本題考查了恒成立問題，考查了函數的值域，訓練了數學轉化思想方法，關鍵是對新定義的理解，是中檔題．