Question

如圖，已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（b＞a＞0）且a∈[1，2]，它的左、右焦點為F₁，F₂，左右頂點分別為A、B．過F₂作圓x²+y²=a²的切線，切點為T，交雙曲線與P、Q兩點．
（Ⅰ）求證直線PQ與雙曲線的一條漸近線垂直．
（Ⅱ）若M為PF₂的中點，O為坐標原點，|OM|-|MT|=1，|PQ|=λ|AB|，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據雙曲線的性質表示出漸近線方程，設出PQ的方程，根據與圓相切求得圓心到直線的距離為半徑求得k的表達式，進而把兩漸近線的斜率相乘即可．
（Ⅱ）設出PF的直線方程與雙曲線方程聯立，消去y，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而利用弦長公式表示出|PQ|，同時依題意可知|OM|=

1

2

|PF1|，|F2M|=

1

2

|PF2|，推斷出|F₂M|-|MT|=a+1，進而求得b和a的關系式，然后利用|PQ|和|AB|，表示出λ，利用換元法令t=2a+1，利用函數的單調性求得λ的范圍．

解答：解：（Ⅰ）雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(b＞a＞0)的漸近線為y=±

b

a

x，
設直線PQ的方程為y=k（x-c），（不妨設k＜0），由于與圓x²+y²=a²相切，
∴

|kc|

k2+1

=a，即k2=

a2

b2

，直線PQ的斜率k=-

a

b

，
因為一三象限的漸近線為

b

a

，-

a

b

•

b

a

=-1．
所以直線PQ與雙曲線的一條漸近線垂直；
（Ⅱ）

y=k(x-c) x2 a2 - y2 b2 =1

得（b²-a²k²）x²+2a²k²cx-a²k²c²-a²b²=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則

x1+x2= -2a2k2c b2-a2k2 x1x2= -a2k2c2-a2b2 b2-a2k2

，
所以|PQ|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2ab2(1+k2)

|b2-a2k2|

=

2ab2

b2-a2

，
因為|OM|=

1

2

|PF1|，|F2M|=

1

2

|PF2|，|F2M|-|OM|=

1

2

(|PF2|-|PF1|)=a，|OM|-|MT|=1，
代入上式得|F₂M|-|MT|=a+1，
又|F2M|-|MT|=|F2T|=

c2-a2

=b，
所以b=a+1．
因為|AB|=2a，|PQ|=

2ab2

b2-a2

，
λ=

b2

b2-a2

=

(a+1)2

2a+1

=

a2

2a+1

+1，
令t=2a+1，則a=

t-1

2

，t∈[3，5]，λ=

1

4

[t+

1

t

-2]+1，
因為t+

1

t

在[3，5]為增函數，所以λ∈[

4

3

，

9

5

]．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生對解析幾何學知識的綜合運用．