Question

定義在R上的函數f（x）滿足條件：f（x+4）=f（x），當x∈[2，6]時，f(x)=(

1

2

)|x-m|+n，且f（4）=31．
（1）求證：f（2）=f（6）；（2）求m，n的值；（3）比較f（log₃m）與f（log₃n）的大小．

Answer 1

分析：（1）直接利用f（x+4）=f（x）將x=2代入即得：f（2）=f（6）
（2）由

f(4)=31 f(2)=f(6)

代入數據，解得

m=4 n=30

即可；
（3）先計算出log₃4+4的范圍，再利用f（x+4）=f（x）進行化簡求值，最后結合對數函數的單調性與特殊點即可比較大小．

解答：解：（1）證明：∵f（x+4）=f（x）∴f（2）=f（6）…（4分）
（2）解：由

f(4)=31 f(2)=f(6)

得

( 1 2 )|4-m+n=31 ( 1 2 )|2-m+n=( 1 2 )|6-m+n

，解得

m=4 n=30

…（10分）
（3）解：∵log₃4∈（1，2）∴log₃4+4∈（5，6）
∴f(log34)=f(log34+4)=(

1

2

)|log34+4-4|+30=(

1

2

)log34+30∵log₃30∈（3，4）
∴f(log330)=(

1

2

)|log330-4|+30=(

1

2

)4-log330+30=(

1

2

)log3

27

10

+30∵log3

27

10

＜log34
∴(

1

2

)log3

27

10

＞(

1

2

)log34∴(

1

2

)log3

27

10

+30＞(

1

2

)log34+30
∴f（log₃4）＜f（log₃30）即f（log₃m）＜f（log₃n）…（16分）

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數解析式的求解及常用方法、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．