Question

（文）已知函數f（x）=x²lnx．
（I）求函數f（x）的單調區間；
（II）若b∈[-2，2]時，函數h（x）=

1

3

x3lnx-

1

9

x3-(2a+b)x，在（1，2）上為單調遞減函數．求實數a的范圍．

Answer 1

分析：（I）確定函數f（x）的定義域，求導函數，利用f′（x）＜0，x＞0，確定函數單調遞減區間；利用f′（x）＞0，x＞0，可得函數單調遞增區間；
（2）求導函數，問題轉化為x∈（1，2）時，h′（x）≤0恒成立，利用函數f（x）=x²lnx在（1，2）上單調遞增，及b∈[-2，2]，即可求得實數a的范圍．

解答：解：（I）函數f（x）的定義域為（0，+∞）----1分
求導函數，可得f′（x）=2xlnx+x．
令f′（x）=0，解得：x=e-

1

2

----4分
令f′（x）＜0，x＞0，可得0＜x＜e-

1

2

；令f′（x）＞0，x＞0，可得x＞e-

1

2

；
∴函數單調遞減區間為(0，e-

1

2

)；函數單調遞增區間為(e-

1

2

，+∞)．----6分
（2）求導函數，可得h′（x）=x²lnx-（2a+b）
由題意可知，x∈（1，2）時，h′（x）≤0恒成立．----9分
即2a+b≥x²lnx
由（1）可知，函數f（x）=x²lnx在（1，2）上單調遞增，∴2a+b≥f（2）=4ln2----11分
由b∈[-2，2]，可得2a≥4ln2+2
∴a≥2ln2+1----13分．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查恒成立問題，考查函數的最值，屬于中檔題．