Question

在直角坐標系xOy中,橢圓C₁: ="1" (a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂, F₂也是拋物線C₂：y²=4x的焦點，點M為C₁與C₂在第一象限的交點，且|MF₂|=.
（1）求C₁的方程；
（2）直線l∥OM，與C₁交于A、B兩點，若·=0，求直線l的方程.

Answer 1

(1).(2)直線l的方程為y=x-2,或y=x+2.

試題分析：(1)由C₂:y²=4x,知F₂(1,0),設M(x₁,y₁),M在C₂上,因為|MF₂|=,所以x₁+1=,得x₁=,y₁=.所以M.M在C₁上,且橢圓C₁的半焦距c=1,于是消去b²并整理得9a⁴-37a²+4=0.
解得a=2(a=不合題意,舍去). b²=4-1=3.故橢圓C₁的方程為.
(2)因為l∥OM,所以l與OM的斜率相同.故l的斜率k==.設l的方程為y=(x-m).
由消去y并整理得9x²-16mx+8m²-4=0.設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則x₁+x₂=,x₁x₂=.
因為⊥,所以x₁x₂+y₁y₂=0.所以x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+6(x₁-m)(x₂-m)=7x₁x₂-6m(x₁+x₂)+6m²
=7·-6m·+6m²=(14m²-28)=0.所以m=±.此時Δ=(16m)²-4×9(8m²-4)＞0.
故所求直線l的方程為y=x-2,或y=x+2.
點評：難題，曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題求橢圓標準方程時，主要運用了橢圓的幾何性質，通過布列方程，達到解題目的。本題（2）在利用韋達定理的基礎上，借助于向量垂直，向量的數量積為0，得到了m的方程。