Question

設函數f（x）的定義域為D，如果對于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=C(C為常數)成立，則稱函數f（x）在D上均值為C，給出下列四個函數①y=x³，②y=

2x

x-1

，③y=lg|x|，④y=2^x，則滿足在其定義域上均值為2的函數有

①②

（填上所有合題的函數序號）．

Answer 1

分析：由題意可得，均值為2，則

f(x1)+f(x2)

2

=2即f（x₁）+f（x₂）=4，要滿足已知的條件，則必需使所求的函數單調函數，還得讓函數滿足值域為R，然后結合已知函數逐項排除．

解答：解：由題意可得，均值為2，則

f(x1)+f(x2)

2

=2即f（x₁）+f（x₂）=4
①：y=x³在定義域R上單調遞增，對應任意的x₁，則存在唯一x₂滿足x₁³+x₂³=4①正確
②：y=

2x

x-1

，在（-∞，1），（1，+∞）上單調遞減，對應任意的x₁，則存在唯一x₂滿足

2x1

x1-1

+

2x2

x2-1

=4②正確
③y=lg|x|在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）單調遞增，
對應任意的x₁＞0，則滿足lg|x₁|+lg|x₂|=4的x₂存在兩個值使之成立，故③不正確
④y=2^x滿足2^x₁+2^x₂=4，令x₁=3時，x₂不存在④錯誤
故答案為：①②．

點評：本題主要考查了函數的新定義，解決問題的關鍵是要根據已知定義，把題中的定義進行轉化，要求考生具備閱讀轉化的能力，屬于中檔題．