Question

某廠家擬舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）x萬件與年促銷費用m萬元（）（k為常數）滿足：x=3-，如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是1萬件．已知2004年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）．
（1）將該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數；
（2）該廠家促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？

Answer 1

解：（1）由題意知，當m=0時，x=1，∴1=3-k，即k=2，∴x=3-；
每件產品的銷售價格為1.5×（萬元），
∴利潤函數y=x[1.5×]-（8+16x+m）
=4+8x-m=4+8（3-）-m
=-[+（m+1）]+29（m≥0）．
（2）因為利潤函數y=-[+（m+1）]+29（m≥0），
所以，當m≥0時，+（m+1）≥2=8，
∴y≤-8+29=21，當且僅當=m+1，即m=3（萬元）時，y_max=21（萬元）．
所以，該廠家2008年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大，最大為21萬元．
分析：（1）由題目中產品的年銷售量x萬件與年促銷費用m萬元的函數關系式為：x=3-，當m=0時，x=1，可得k的值，即得x關于m的解析式；又每件產品的銷售價格為1.5×（萬元），則利潤y=x[1.5×]-（8+16x+m）整理即可．（2）對（1）利潤函數y=-[+（m+1）]+29（m≥0），利用基本不等式求最大值即可．
點評：本題考查了商品利潤函數模型的應用，也考查了基本不等式a+b≥2（a＞0，b＞0）的靈活運用，是中檔題目．