Question

設(shè)正數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．

(1)求數(shù)列的首項(xiàng)；

(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(3)設(shè)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得對(duì)所有都成立的最小正整數(shù)．

 

Answer 1

(1) ；(2) ；(3) .

【解析】

試題分析：(1) ,所以在中, ,令,可得關(guān)于的方程,解之可得.

(2) 在中, 用代替,得：

于是有方程組，兩式分別平方再相減可得，即：

由此探究數(shù)列的特點(diǎn)，從而求其通項(xiàng)公式；

（3）根據(jù)數(shù)列數(shù)列的通項(xiàng)公式特點(diǎn)，有

故可用拆項(xiàng)法化簡數(shù)列的前項(xiàng)和，并由的范圍求出的值.

試題解析：(1)當(dāng)時(shí)，由且，解得 2分

(2)由，得 ①

∴ ②

②-①得：

化簡，得 4分

又由，得

∴，即 5分

∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列 6分

∴，即 8分

(3) 10分

∴

12分

∴要使對(duì)所有都成立，只需，即

∴滿足條件的最小正整數(shù)． 14分

考點(diǎn)：1、數(shù)列通項(xiàng)與的關(guān)系；2、拆項(xiàng)求和.