Question

（本題共3小題，滿分18分。第1小題滿分4分，第2小題滿分７分，第3小題７分）

 

對定義在上，并且同時滿足以下兩個條件的函數稱為函數．

① 對任意的，總有；

② 當時，總有成立．

已知函數與是定義在上的函數．

（1）試問函數是否為函數？并說明理由；

（2）若函數是函數，求實數的值；

（3）在（2）的條件下，是否存在實數，使方程恰有兩解？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）當時，總有滿足①……………………………1分

當時，

滿足②………3分

所以函數為函數；………………………………………………………4分

（2）因為函數是函數，根據①有，……………6分

根據②有

…………………………………………………7分

因為，

所以，，其中和不能同時取到，

于是，……………………9分

所以，即，……………10分

于是…………………………………………………………………………11分

另解：因為函數是函數，根據①有，…………6分

根據②有

………………………………8分

取得…………………………………………………………10分

于是…………………………………………………………………………11分

（3）【理科】根據（2）知，原方程可以化為，……………12分

由，……………………………………………………14分

令，則，………………………………………15分

由圖形可知：當時，方程有一解；…………………………………16分

當時，方程無解；…………………………17分

因此，方程不存在兩解。………………………………………………………18分

【文科】根據（2）知，原方程可以化為，…………………12分

由，……………………………………………………14分

令，…………………………………………………………………15分

則，……………………………………………16分

因此，當時，方程有解。……………………………………………18分

 

【解析】略