Question

已知方程x²+4ax+3a+1=0（a＞1）的兩根為tanα，tanβ且α，β∈(-

π

2

，

π

2

)，則tan

α+β

2

=（　　）

• A．

  1

  2

• B．-2
• C．

  4

  3

• D．

  1

  2

  或-2

Answer 1

分析：由題意可得tanα+tanβ=-4a＜0，tanα•tanβ=3a+1＞4，求得tan（α+β）=

4

3

，tanα＜0，tanβ＜0．再由α，β∈(-

π

2

，

π

2

)，可得

α+β

2

∈(-

π

2

，0)，再由

4

3

=tan（α+β）=

2tan α+β 2

1-tan2 α+β 2

，解得tan

α+β

2

的值．

解答：解：∵已知方程x²+4ax+3a+1=0（a＞1）的兩根為tanα，tanβ，∴tanα+tanβ=-4a＜0，tanα•tanβ=3a+1＞4．
∴tan（α+β）=

tanα+ tanβ

1-tanα• tanβ

=

-4a

-3a

=

4

3

，∴tanα＜0，tanβ＜0．
再由α，β∈(-

π

2

，

π

2

)，可得α，β∈(-

π

2

，0)，故

α+β

2

∈(-

π

2

，0)．
再由

4

3

=tan（α+β）=

2tan α+β 2

1-tan2 α+β 2

，解得tan

α+β

2

=-2，或 tan

α+β

2

=

1

2

 （舍去），
故選B．

點評：本題主要考查兩角和差的正切公式、二倍角的正切公式的應用，屬于中檔題．