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已知數列an滿足a1=1，且4an+1-anan+1+2an=9（n∈N*）
（1）求a1，a2，a3，a4的值；
（2）由（1）猜想an的通項公式，并給出證明．
分析：（1）由題設條件得an+1=
9-2an
4-an
=2-
1
an-4
，由此能夠求出a1，a2，a3，a4的值．
（2）猜想an=
6n-5
2n-1
，然后用數學歸納法進行證明．
解答：解：（1）由4an+1-anan+1+2an=9得an+1=
9-2an
4-an
=2-
1
an-4
，
求得a2=
7
3
，a3=
13
5
，a4=
19
7
（3分）
（2）猜想an=
6n-5
2n-1
（5分）
證明：①當n=1時，猜想成立．（6分）
②設當n=k時（k∈N+）時，猜想成立，即ak=
6k-5
2k-1
，（7分）
則當n=k+1時，有ak+1=2-
1
ak-4
=2-
1
6k-5
2k-1
-4
=
6k+1
2k+1
=
6(k+1)-5
2(k+1)-1
，
所以當n=k+1時猜想也成立（9分）
③綜合①②，猜想對任何n∈N+都成立．（10分）
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意數學歸納法的證明過程．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列an滿足a1=2，
an+1
2an
=1+
1
n
；
（Ⅰ）求數列an的通項公式；
（Ⅱ）若數列{
an
n
}的前n項和為Sn，試比較an-Sn與2的大�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列an滿足a1=1，n≥2時，
an
an-1
=
2-3an
an-1+2
．
（1）求證：數列{
1
an
}為等差數列；
（2）求{
3n
an
}的前n項和．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列an滿足a1+a2+…+an=n2（n∈N*）．
（1）求數列an的通項公式；
（2）對任意給定的k∈N*，是否存在p，r∈N*（k＜p＜r）使
1
ak
，  
1
ap
，  
1
ar
成等差數列？若存在，用k分別表示p和r（只要寫出一組）；若不存在，請說明理由；
（3）證明：存在無窮多個三邊成等比數列且互不相似的三角形，其邊長為an1，an2，an3．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列an滿足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=
n
2
（n∈N*）．
（Ⅰ）求數列{an}的通項；
（Ⅱ）若bn=
n
an
求數列{bn}的前n項和Sn．

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