Question

（2009•黃浦區(qū)二模）已知點P（0，b）是y軸上的動點，點F（1，0）、M（a，0）滿足PM⊥PF，動點N滿足2

PN

+

NM

=

0

．
（1）求動點N所在曲線C的方程．
（2）若曲線C上的兩點A、B滿足OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點，A、B不同于O點），試證明直線AB必過定點，并求出這個定點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)動點N（x，y）．依據(jù)題意，有

PN

=(x，y-b)，

PM

=(a，-b)，

PF

=(1，-b)，

NM

=(a-x，-y)．由PM⊥PF，2

PN

+

NM

=

0

，知

PM • PF =0 2 PN =- NM

，由此能求出曲線C的方程．
（2）因A、B是曲線C：y²=4x（x≥0）上不同于原點的兩點，設(shè)A(

y 2 1

4

，y1)、B(

y 2 2

4

，y2)(

y

1

≠y2，y1y2≠0)，
則

OA

=(

y 2 1

4

，y1)、

OB

=(

y 2 2

4

，y2)，

AB

=(

y 2 2

4

-

y 2 1

4

，

y

2

-y1)．由OA⊥OB，知y₁y₂=-16．由直線AB的法向量為

n

=(

y

1

-y2，

y 2 2

4

-

y 2 1

4

)，得直線AB的方程：(y1-y2)•(x-

y_2

4

)+(

y 2 2

4

-

y 2 1

4

)(y-y1)=0，由此能夠證明直線AB：x-

y1+y2

4

y-4=0恒過定點，且定點坐標(biāo)為（4，0）．

解答：解：（1）設(shè)動點N（x，y）．　　　　　　　　　　　　　　（1分）
依據(jù)題意，有

PN

=(x，y-b)，

PM

=(a，-b)，

PF

=(1，-b)，

NM

=(a-x，-y)．（3分）
又PM⊥PF，2

PN

+

NM

=

0

，
則

PM • PF =0 2 PN =- NM

，
進(jìn)一步有

a+b2=0 x=-a y=2b

．
因此，y²=4x（x≥0）．　 （7分）
所以曲線C的方程是y²=4x（x≥0）．　　　　　　　　　　　　　　　（8分）
（2）證明：因A、B是曲線C：y²=4x（x≥0）上不同于原點的兩點，
可設(shè)A(

y 2 1

4

，y1)、B(

y 2 2

4

，y2)(

y

1

≠y2，y1y2≠0)，
則

OA

=(

y 2 1

4

，y1)、

OB

=(

y 2 2

4

，y2)，

AB

=(

y 2 2

4

-

y 2 1

4

，

y

2

-y1)．　（11分）
又OA⊥OB，
故

OA

•

OB

=0，即

y 2 1 y 2 2

16

+y1y2=0．
所以y₁y₂=-16．　　　（14分）
由直線AB的法向量為

n

=(

y

1

-y2，

y 2 2

4

-

y 2 1

4

)，
可得直線AB的方程：(y1-y2)•(x-

y_2

4

)+(

y 2 2

4

-

y 2 1

4

)(y-y1)=0，
進(jìn)一步化簡為x-

y1+y2

4

y-4=0．（16分）
所以直線AB：x-

y1+y2

4

y-4=0恒過定點，
且定點坐標(biāo)為（4，0）．      （18分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．