Question

（2008•奉賢區模擬）我們規定：對于任意實數A，若存在數列{a_n}和實數x（x≠0），使得A=a₁+a₂x+a₃x²+…+a_nx^n-1，則稱數A可以表示成x進制形式，簡記為：A=

.

x\～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)

．如：A=

.

2\～(-1)(3)(-2)(1)

，則表示A是一個2進制形式的數，且A=-1+3×2+（-2）×2²+1×2³=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x²）（其中x≠0），試將m表示成x進制的簡記形式．
（2）若數列{a_n}滿足a₁=2，ak+1=

1

1-ak

，k∈N*，bn=

.

2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)

（n∈N^*），是否存在實常數p和q，對于任意的n∈N*，b_n=p•8ⁿ+q總成立？若存在，求出p和q；若不存在，說明理由．
（3）若常數t滿足t≠0且t＞-1，dn=

.

t\～( C 1 n )( C 2 n )( C 3 n )…( C n-1 n )( C n n )

，求

lim

n→∞

dn

dn+1

．

Answer 1

分析：（1）先將m=（1-2x）（1+3x²）展開，再根據定義，將m表示成x進制的簡記形式．
（2）由題意，知{a_n}是周期為3的數列．假設存在實常數p和q，對于任意的n∈N*，b_n=p•8ⁿ+q總成立，則由定義可得p=

2

7

，q=-

2

7

．
（3）先求dn=

C

1 n

+

C

2 n

t+

C

3 n

t2+

C

4 n

t3…+

C

n n

tn-1=

C 1 n t+ C 2 n t2+ C 3 n t3+…+ C n n tn

t

=

[ C 0 n + C 1 n t+ C 2 n t2+ C 3 n t3+…+ C n n tn]-1

t

=

(1+t)n-1

t

，再求極限．

解答：解：（1）m=（1-2x）（1+3x²）=1-2x+3x²-6x³（1分）
則m=

.

x\～(1)(-2)(3)(-6)

（3分）
（2）a2=-1，a3=

1

2

，a4=2，a5=-1，a6=

1

2

∵an+1=

1

1-an

∴an+2=

1

1-an+1

=

1

1- 1 1-an

=

1-an

-an

∴an+3=

1

1-an+2

=

1

1+ 1-an an

=a_n（n∈N*），知{a_n}是周期為3的數列     （6分）
假設存在實常數p和q，對于任意的n∈N*，b_n=p•8ⁿ+q總成立，則：bn=

.

2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)

=[2+(-1)×2+

1

2

×22]+[2×23+(-1)×24+

1

2

×25]+…+[2×23n-3+(-1)×23n-2+

1

2

×23n-1]=[2+(-1)×2+

1

2

×22]×(1+23+26+…+23n-3)=2×

1-8n

1-8

=

2

7

×8n-

2

7

∴p=

2

7

，q=-

2

7

．
即存在實常數p=

2

7

，q=-

2

7

，對于任意的n∈N*，bn=

2

7

•8n-

2

7

總成立    （10分）
（3）dn=

C

1 n

+

C

2 n

t+

C

3 n

t2+

C

4 n

t3…+

C

n n

tn-1=

C 1 n t+ C 2 n t2+ C 3 n t3+…+ C n n tn

t

=

[ C 0 n + C 1 n t+ C 2 n t2+ C 3 n t3+…+ C n n tn]-1

t

=

(1+t)n-1

t

（14分）
∴

lim

n→∞

dn

dn+1

=

lim

n→∞

(1+t)n-1

(1+t)n+1-1

=

1 1+t |1+t＞1 1|1+t＜1

，即

lim

n→∞

dn

dn+1

=

1 1+t ，t＞0 1，-1＜t＜0

（18分）

點評：本題以新定義為載體，考查數列及極限，關鍵是理解新定義，合理轉化，需要計算細心．