Question

已知函數f(x)=sinx(cosx-

3

sinx)．
（I）求函數f（x）的最小正周期；
（II）將函數y=sin2x的圖象向左平移a(0＜a＜

π

2

)個單位，向下平移b個單位，得到函數y=f（x）的圖象，求ab的值；
（Ⅲ）求函數f（x）在[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）先根據三角函數的二倍角公式和兩角和與差的正弦公式將函數化簡為y=Asin（wx+φ）的形式，根據T=

2π

w

可得答案．
（2）將y=sin2x進行平移可得sin2（x+a）-b，然后令sin2(x+a)-b=sin(2x+

π

3

)-

3

2

可解出a，b的值．
（3）先根據x的范圍求出2x+

π

3

的范圍，再由三角函數的性質可得到答案．

解答：解：（I）f(x)=-

3

sin2x+sinxcosx
=-

3

×

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x
=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x-

3

2

=sin(2x+

π

3

)-

3

2

．
函數f（x）的最小正周期是T=

2π

2

=π；
（II）由（I）得，sin2(x+a)-b=sin(2x+

π

3

)-

3

2

，
可知a=

π

6

，b=

3

2

．則ab=

3

12

π．
（Ⅲ）∵0≤x≤

π

2

，∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
∴-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1，
∴f（x）的值域為[-

3

，1-

3

2

]．

點評：本題主要考查三角函數的最小正周期、值域的求法和平移變換的問題．一般先將函數化簡為y=Asin（wx+φ）的形式再解題．