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如圖，四棱錐P-ABCD中，，，，，是的中點．

（1）求證：；
（2）求二面角的平面角的正弦值．

(1)見解析；（2）.

解析試題分析：（1）要證線面垂直，需證線與平面內的兩條相交直線垂直，由底面，先證面，得，再證，從而得；（2）以為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量解決問題.
試題解析：（1）證明：底面，,又，，故面面，故                4分
又， 是的中點，故,從而面，故
易知，故面             6分
（2）如圖建立空間直角坐標系，設，則、、、，

，從而， ，  9分
設為平面的法向量，
則可以取         11分
又為平面的法向量，若二面角的平面角為
則         11分
因此。        12分
考點：1.線面垂直的判定；2.二面角；3.空間向量在解決立體幾何問題中的應用.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，對角線AC與BD相交于點O，PO為四棱錐P﹣ABCD的高，且，E、F分別是BC、AP的中點．

（1）求證：EF∥平面PCD；
（2）求三棱錐F﹣PCD的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，三棱錐中，，
 
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若，是的中點，求與平面所成角的正切值  

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，幾何體中，四邊形為菱形，，，面∥面,、、都垂直于面,且，為的中點，為的中點.

（1）求幾何體的體積；
（2）求證：為等腰直角三角形；
（3）求二面角的大小.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，長方體中，，點是的中點.

(1)求三棱錐的體積；
(2)證明：;
(3)求二面角的正切值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

四棱錐中，底面為平行四邊形，側面底面．已知，，，．

（Ⅰ）證明；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知中，，，為的中點，分別在線段上，且交于，把沿折起，如下圖所示，

（1）求證：平面；
（2）當二面角為直二面角時，是否存在點，使得直線與平面所成的角為，若存在求的長，若不存在說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖（1），等腰直角三角形的底邊，點在線段上，于，現將沿折起到的位置（如圖（2））．

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若，直線與平面所成的角為，求長．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在中，，，是上的高，沿把折起，使.
(Ⅰ)證明：平面⊥平面；
(Ⅱ)若，求三棱錐的表面積．

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