Question

如圖，△ABC為一個等腰三角形的空地，底邊AB長為4（百米），腰長為3（百米），現決定在空地上修一條筆直的小路EF（寬度不計），將該空地分成一個四邊形和一個三角形，設分成的四邊形和三角形周長相等，面積分別為S₁和S₂，
（1）若小路一端E為AC中點，求小路的長度；
（2）求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）小路一端E為AC中點，則F在BC，利用四邊形和三角形周長相等．求出CF，然后求出cosC，利用余弦定理求小路EF的長度；
（2）若E、F在兩腰上，設CE=x，CF=y，表示出的表達式，通過基本不等式求出最小值．
若點E、F在一腰和底上，設E在CA上，F在AB上，設AE=x，AF=y，表示出的表達式，通過基本不等式求出最小值．
解答：解：（1）易知F在BC上，則AB+BF+FE+AE=EC+EF+CF，∵E為AC中點，∴AE=EC，
BF=4-CF，上式化為BF=，即CF=，，
根據余弦定理，EF²=CF²+CE²-2CF•CEcosC==，
∴EF=
（2）若E、F在兩腰上，設CE=x，CF=y，
∴x+y=5，

當且僅當時取“=”號
若點E、F在一腰和底上，設E在CA上，F在AB上，設AE=x，AF=y，
∴x+y=5，
當且僅當時取“=”號
所以最小值為．
點評：本題是中檔題，考查三角形的解法，余弦定理、基本不等式的應用，分類討論思想的應用，考查計算能力．