Question

已知橢圓的內接三角形有一個頂點在短軸的頂點處，其重心是橢圓的一個焦點，求該橢圓離心率e的取值范圍（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：設出橢圓方程，根據其內接三角形的一個頂點是短軸的一個頂點，重心是一個焦點，利用向量求出已知頂點對邊的中點，由該中點在橢圓內部列式求橢圓離心率的范圍．
解答：解：不防設橢圓方程：（a＞b＞0），
再不妨設：B（0，b），三角形重心G（c，0），
延長BG至D，使|GD|=，
設D（x，y），則，，
由，得：，
解得：，．
而D是橢圓的內接三角形一邊AC的中點，
所以，D點必在橢圓內部，
則．
把b²=a²-c²代入上式整理得：．
即．
又因為橢圓離心率e∈（0，1），
所以，該橢圓離心率e的取值范圍是．
故選B．
點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質，考查了橢圓離心率的求法，求橢圓離心率范圍的關鍵是利用橢圓的性質及平面幾何知識，找到含有a和c的不等式．此題是中檔題．