Question

（2013•豐臺區一模）如果函數y=f（x）圖象上任意一點的坐標（x，y）都滿足方程 lg（x+y）=lgx+lgy，那么正確的選項是（　　）

A．y=f（x）是區間（0，+∞）上的減函數，且x+y≤4

B．y=f（x）是區間（1，+∞）上的增函數，且x+y≥4

C．y=f（x）是區間（1，+∞）上的減函數，且x+y≥4

D．y=f（x）是區間（1，+∞）上的減函數，且x+y≤4

Answer 1

分析：由給出的方程得到函數y=f（x）圖象上任意一點的橫縱坐標x，y的關系式，利用基本不等式求出x+y的范圍，利用函數單調性的定義證明函數在（1，+∞）上的增減性，二者結合可得正確答案．

解答：解：由lg（x+y）=lgx+lgy，得

x＞0 y＞0 x+y=xy

，
由x+y=xy得：x+y=xy≤(

x+y

2

)2=

(x+y)2

4

，
解得：x+y≥4．
再由x+y=xy得：y=

x

x-1

（x≠1）．
設x₁＞x₂＞1，
則f(x1)-f(x2)=

x1

x1-1

-

x2

x2-1

=

x1x2-x1-x2x1+x2

(x1-1)(x2-1)

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

．
因為x₁＞x₂＞1，
所以x₂-x₁0，x₂-1＞0．
則

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以y=f（x）是區間（1，+∞）上的減函數，
綜上，y=f（x）是區間（1，+∞）上的減函數，且x+y≥4．
故選C．

點評：本題考查了函數單調性的判斷與證明，考查了利用基本不等式求最值，訓練了利用單調性定義證明函數單調性的方法，是基礎題．