Question

設是數列的前項和，對任意都有成立， (其中、、是常數)．
（1）當，，時，求；
（2）當，，時，
①若，，求數列的通項公式；
②設數列中任意（不同）兩項之和仍是該數列中的一項，則稱該數列是“數列”.
如果，試問：是否存在數列為“數列”，使得對任意，都有
，且．若存在，求數列的首項的所
有取值構成的集合；若不存在，說明理由．

Answer 1

(1)=；(2)①；②存在，首項的所有取值構成的集合為.

試題分析：(1)要求，大多數時候要先求，本題實質就是有關系式，那么我們可以用代得，兩式相減，可得出與的關系，本題正好得到數列是等比數列，故易求得和；(2) 實質上的關系式是，這讓我們聯想到數列是等差數列，這里難點就在于證明是等差數列，證明方法是把等式中的用換得到一個式子，兩式相減可得，此式中含有常數，故再一次用代換此式中的，兩式相減可消去得數列的連續三項的關系，可證得是等差數列，那么這里①的通項公式易求；對于②這類問題總是假設存在，然后去求，假設存在時，可知數列公差是2，即，由于它是“數列”，故任意兩項和還是數列中的項，即，可得是偶數，又由，得，娵，從而，下面對的值一一驗證是否符合已知條件，
試題解析：（1）當，，時，由得
                      ①
用去代得，，   ②
②—①得，，，
在①中令得，，則0，∴，
∴數列是以首項為1，公比為3的等比數列，
∴=
（2）當，，時，
，                          ③
用去代得，， ④
④—③得，      ，     ⑤
用去代得，，      ⑥
⑥—⑤得，，即，
∴數列是等差數列.∵，，
∴公差，∴
易知數列是等差數列，∵，∴.
又是“數列”，得：對任意，必存在使
，
得，故是偶數，
又由已知，，故
一方面，當時，，對任意，
都有
另一方面，當時，，，
則，
取，則，不合題意.
當時，，，則
，
當時，，，
，
又，∴或或或
所以，首項的所有取值構成的集合為
（其他解法,可根據【解】的評分標準給分）與的關系，求和；(2)等差數列的通項公式，前項和.