Question

對于定義域為I的函數y=f（x），如果存在區間[m，n]⊆I，同時滿足：①f（x）在[m，n]內是單調函數；②當定義域是[m，n]，f（x）值域也是[m，n]，則稱[m，n]是函數y=f（x）的“好區間”．
（1）設g(x)=loga(ax-2a)+loga(ax-3a)（其中a＞0且a≠1），判斷g（x）是否存在“好區間”，并說明理由；
（2）已知函數P(x)=

(t2+t)x-1

t2x

(t∈R，t≠0)有“好區間”[m，n]，當t變化時，求n-m的最大值．

Answer 1

分析：（1）g（x）在區間[m，n]是單調的，由g（m）=m，g（n）=n得m、n是方程g（x）=x的兩個不等實根，從而求出a的取值范圍；
（2）函數P（x）有“好區間”[m，n]，即P（x）在[m，n]上是單調函數，由

P(m)=m P(n)=n

得m，n是方程P（x）=x的同號不等二實根，求得n-m的最大值．

解答：解：（1）由題意，

ax-2a＞0 ax-3a＞0

，∴a^x＞3a，（a＞0且a≠1）；
①當a＞1時，x＞log_a（3a），此時D=（log_a（3a），+∞），任取x₁、x₂∈D，且x₁＜x₂，
∵ax1＜ax2，∴0＜ax1-2a＜ax2-2a，0＜ax1-3a＜ax2-3a，
∴log_a（ax1-2a）＜log_a（ax2-2a），log_a（ax1-3a）＜log_a（ax2-3a）；
∴g（x）在D=（log_a（3a），+∞）上是增函數；
②當0＜a＜1時，x＜log_a（3a），此時D=（-∞，log_a（3a）），
同理可證，g（x）在D=（-∞，log_a（3a））上是增函數；
∴存在好區間[m，n]?存在m，n∈D（m＜n），使

g(m)=m g(n)=n

成立，
等價于關于x的方程f（x）=x在定義域D上有兩個不等實根，
即（a^x-2a）（a^x-3a）=a^x（*）在定義域D上有兩個不等實根；
設t=a^x，t∈D，則（*）等價于方程（t-2a）（t-3a）=t，
即t²-（5a+1）t+6a²=0在（3a，+∞）上有兩個不等實根，
設函數h（t）=t²-（5a+1）t+6a²，則

a＞0，a≠1 △=(5a+1)2-24a2＞0 5a+1 2 ＞3a

無解；
∴函數g（x）不存在好區間；
（2）∵函數P(x)=

(t2+t)x-1

t2x

(t∈R，t≠0)有“好區間”[m，n]，
∴[m，n]?（-∞，0）或[m，n]?（0，+∞）；
∴P（x）=

t+1

t

-

1

t2x

在[m，n]上單調遞增，
∴

P(m)=m P(n)=n

，即m，n是方程P（x）=x的同號不等二實根，
即方程t²x²-t（t+1）x+1=0，
∵mn=

1

t2

＞0，
∴△=t²（t+1）²-4t²＞0，
∴t＞1或t＜-3，
∴n-m=

(m+n)2-4mn

=

-3( 1 t - 1 3 )2+ 4 3

，其中t∈（-∞，-3）∪（1，+∞）；
當t=3時，n-m取得最大值

2 3

3

．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性以及根據函數的單調性判定一元二次方程根的情況，是易錯題．