Question

將半徑為R的圓面剪切去如圖中的陰影部分，沿圖所畫的線折成一個正三棱錐，這個正三棱錐的側面與底面所成的二面角的余弦值是（　　）

• A．

  3 (2- 3 )

  3

• B．

  3 (3-2 2 )

  3

• C．

  2 2 - 3

  3

• D．

  3 3 -2 2

  3

Answer 1

分析：作VO′⊥平面ABC，垂足為O′作AD⊥BC，連接VD，則O′在AD上，∠VDO′為正三棱錐的側面與底面所成的二面角，求得AB，VC的關系，即可求得結論．

解答：解：由題意，作VO′⊥平面ABC，垂足為O′作AD⊥BC，連接VD，則O′在AD上，
∴∠VDO′為正三棱錐的側面與底面所成的二面角
設AB=a，VC=b，則

2 b=2R a2=b2+b2-2b2cos30°

∴b=

2

R，a=(

3

-1)R
∴VD=

b2- a2 4

=

3 +1

2

R
∵O′D=

3

6

a=

3 ( 3 -1)

6

R
∴cos∠VDO′=

O′D

VD

=

3 ( 3 -1) 6 R

3 +1 2 R

=

3 (2- 3 )

3

故選A．

點評：本題考查面面角，考查學生的計算能力，正確作出面面角，確定AB，VC的關系是關鍵．