Question

（Ⅰ）若a是從1，2，3，4四個數中任取的一個數，b是從1，2，3三個數中任取的一個數，求點P（a，b）在橢圓

x2

16

+

y2

9

=1內的概率．
（Ⅱ）若a是從區間（0，3]任取的一個實數，b是從區間（0，3]任取的一個實數，求直線y=x+1與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1有公共點的概率．

Answer 1

（Ⅰ）點P（a，b）的全部基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），
（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3）共12個，
設事件A“點P（a，b）在橢圓

x2

16

+

y2

9

=1內”的基本事件有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（3，1）共5個，
點P（a，b）在橢圓

x2

16

+

y2

9

=1內的概率為P（A）=

5

12

；
（Ⅱ）實驗的全部結果構成的區域為Ω={(a，b)|

0＜a≤3 0＜b≤3

}如圖正方形，
設事件B“直線y=x+1與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1有公共點”
則

y=x+1 x2 a2 + y2 b2 =1

⇒(b2+a2)x2+2a2x+a2(1-b2)=0
由△=4a⁴-4a²（b²+a²）（1-b²）≥0⇒a²+b²≥1
構成的區域為B={（a，b）|a²+b²≥1，（a，b）∈Ω}如圖陰影部分，
區域B的面積為9-

π

4

，
所以直線y=x+1與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1有公共點的概率為
P（B）=

S區域B

S正方形

=

9- π 4

9

=1-

π

36

．