Question

若二項式（1+2x）ⁿ展開式中第6項與第7項的系數相等，求展開式中二項式系數最大的項和系數最大的項．

Answer 1

分析：根據在（1+2x）ⁿ的展開式中第六項與第七項的系數相等，得到C_n⁵2⁵=C_n⁶2⁶，得到n=8，寫出二項式的二項式系數，根據二項式系數的性質得到結果．

解答：解：∵在（1+2x）ⁿ的展開式中第六項與第七項的系數相等，
∴C_n⁵2⁵=C_n⁶2⁶，
∴n=8，
∴展開式中二項式系數最大的項是第5項：

C

4 8

(2x)4=1120x⁴．
二項式的展開式的系數系數最大的項為第r項，
所以

Tr+1≥Tr Tr+1≥Tr+2

，即

C r 8 2r ≥C r-1 8 2r-1 C r 8 2r ≥C r+1 8 2r+1

，解得

r≤ 16 3 r≥ 15 3

，
所以r=5，
所以展開式中系數最大的項是第5項．

點評：本題考查二項式系數的性質，本題解題的關鍵是正確利用二項式系數的性質，注意和組合數聯系，本題是中檔題．