Question

（1）將形如

.

а11 а12 а21 а22

.

的符號稱二階行列式，現規定

.

а11 а12 а21 а22

.

=a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁．
試計算二階行列式

.

cos π 4       1 1 cos π 3

.

的值；
（2）已知tan（

π

4

+a）=-

1

2

，求

sin2a-2cos2a

1+tana

．

Answer 1

分析：（1）由于

.

а11 а12 а21 а22

.

=a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁，根據這個規定可以所求二階行列式的結果．
（2）把所求式子的分子第一項利用二倍角的正弦函數公式化簡，分母第二項利用二倍角的余弦函數公式化簡，然后利用同角三角函數間的基本關系化簡，將求出的tanα的值代入即可求出值．

解答：解：（1）

.

cos π 4       1 1 cos π 3

.

=cos

π

4

cos

π

3

-1=

2

4

-1；
（2）∵tan（

π

4

+a）=-

1

2

，∴

1+tanα

1-tanα

=-

1

2

，
整理得：2+2tanα=-1+tanα，
解得：tanα=-3；…（4分）

sin2a-2cos2a

1+tana

=

2sinαcosα-2cos2α

1+tanα

=

2sinαcosα-2cos2α

(1+tanα)(sin2α+cos2α)

=

2tanα-2

(1+tanα)(tan2α+1)

=

-6-2

-2×10

=

2

5

．…（8分）
故答案為：

2

5

．

點評：本題考查了二階矩陣、三角函數的恒等變換及化簡求值，考查了兩角和與差的正切函數公式，二倍角的正弦、余弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式及基本關系是解本題的關鍵．