Question

計算：
（1）已知，求sinα-cosα的值．
（2）求函數y=cos²x-2sinx+3的最大值及相應x的集合．

Answer 1

解：（1）∵sin（π-α）-cos（π+α）=（＜α＜π），
∴sinα+cosα=（＜α＜π），
∴sin（α+）=，又＜α＜π，
∴＜α+＜，
∴cos（α+）=-，
∴sinα-cosα=-cos（α+）=-×（-）=；
（2）∵y=cos²x-2sinx+3
=5-（sinx+1）²，
∴當sinx=-1，即x=2kπ-（k∈Z）時，
y_max=5，
∴函數y=cos²x-2sinx+3取到最大值5時，x的集合為{x|x=x=2kπ-（k∈Z）}．
分析：（1）利用誘導公式可將sin（π-α）-cos（π+α）=（＜α＜π）轉化為sinα+cosα=，可得sin（α+）=，從而可求cos（α+），于是進一步可得sinα-cosα的值；
（2）將y=cos²x-2sinx+3轉化為：y=5-（sinx+1）²，可求得其最大值及相應x的集合．
點評：本題考查運用誘導公式化簡求值，考查復合三角函數的單調性，掌握三角公式與正弦函數的性質是解決問題的基礎，屬于中檔題．