Question

已知函數f(x)=|

1

x

-1|，其中x∈（o，+∞）．
（I）在給定的坐標系中，畫出函數f（x）的圖象；
（II）設0＜a＜b，且f（a）=f（b），證明：ab＞1．

Answer 1

分析：（I）去絕對值號將函數變為分段函數，即f（x）=

1 x -1    x∈(0，1] 1- 1 x     x∈(1，+∞).

分段作出圖象即可；
（II）當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，由f（a）=f（b）?|1-

1

a

|=|1-

1

b

|?（1-

1

a

）²=（1-

1

b

）²?2ab=a+b≥2

ab

得到關于ab的不等式，解出不等式的解集，由解集確定ab＞1．

解答：證明：（I）不等式可以變為f（x）=

1 x -1    x∈(0，1] 1- 1 x     x∈(1，+∞).

對函數進行分析知f（x）在（0，1]上是減函數，在（1，+∞）上是增函數．
其圖象為：
（II）：由題意f（a）=f（b）?|1-

1

a

|=|1-

1

b

|?（1-

1

a

）²=（1-

1

b

）²?2ab=a+b≥2

ab

故ab-

ab

≥0，即

ab

（

ab

-1）≥0，
故

ab

-1≥0，故ab＞1．

點評：本題考點是函數的圖象、絕對值不等式的解法，考查利用絕對值不等式這一工具證明不等式，二者的結合點相當隱蔽，本題需要對題設條件進行轉化證明，請注意體會這里的技巧．