Question

如圖，已知點(diǎn)D（0，-2），過(guò)點(diǎn)D作拋物線(xiàn)C₁：x²=2py （p ∈[1 ，4] ）的切線(xiàn)l ，切點(diǎn)A在第二象限。
（1）求切點(diǎn)A的縱坐標(biāo)；
（2）若離心率為的橢圓恰好經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，設(shè)切線(xiàn)l交橢圓的另一點(diǎn)為B，若設(shè)切線(xiàn)l，直線(xiàn)OA，OB的斜率為k，k₁，k₂，
①試用斜率k表示k₁+k₂；
②當(dāng)k₁+k₂取得最大值時(shí)求此時(shí)橢圓的方程。

Answer 1

解：（1 ）設(shè)切點(diǎn)A，
依題意則有解得，
即A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2；
（2）①依題意可設(shè)橢圓的方程為，
直線(xiàn)AB方程為：；
由得，（*）
由（1）可得A，
將A代入（*）可得，
故橢圓的方程可簡(jiǎn)化為；
聯(lián)立直線(xiàn)AB與橢圓的方程：，
消去y得：，
則
，
又∵，
∴k∈［-2，-1］；
即；
②由可知上為單調(diào)遞增函數(shù)，
故當(dāng)k=-1時(shí)，取到最大值，此時(shí)p＝4，
故橢圓的方程為。