Question

已知單調遞增的等比數列{a_n}滿足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=a_n•log 

1

2

a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n•2Pⁿ⁺¹＞50成立的正整數n的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出等比數列{a_n}的公比為q，根據等比數列的通項公式及等差數列的性質分別化簡已知的兩條件，得到一個方程組，化簡后即可求出a1和q的值，寫出數列a_n的通項公式即可；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出的數列a_n的通項公式代入，利用對數函數的性質化簡，確定出b_n的通項公式，列舉出數列{b_n}各項的和的相反數設為T_n，記作①，兩邊乘以2得到另一個關系式，記作②，①-②即可求出-T_n，即為S_n，把求出的S_n代入已知的不等式中化簡，即可求出滿足題意的最小的正整數n的值．

解答：解：（Ⅰ）設a_n的公比為q，由已知，
得

a2+a3+a4=28 2(a3+2)=a2+a4

?

a3=8 a2+a4=20

?

a1q2=8 a1q+a1q3=20

?

a1=2 q=2

，
∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ；（5分）
（Ⅱ）bn=2nlog

1

2

2n=-n•2n，
設T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①
則2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-T_n=（2+2²+…+2ⁿ）-n×2ⁿ⁺¹=-（n-1）×2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=-T_n=-（n-1）×2ⁿ⁺¹-2（10分）
故S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50?-（n-1）×2ⁿ⁺¹-2+n×2ⁿ⁺¹＞50，
?2ⁿ＞26，
∴滿足不等式的最小的正整數n為5．（12分）

點評：此題考查學生掌握用錯項相減的方法求數列前n項的和，以及靈活運用等比數列的通項公式來解決問題．學生做第二問時注意不是直接求S_n，而是利用錯位相減的方法先求出S_n的相反數T_n．