Question

已知雙曲線c：－＝1(a＞0，b＞0)B是右頂點，F是右焦點，點A在x軸的正半軸上，且滿足成等比數列，過F作雙曲線C在第一、三象限的漸近線的垂線l，垂足為P

(1)求證：

(2)若l與雙曲線C的左、右兩支分別相交于D、E，求雙曲線C的離心率e的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　(1)由條件可求得P點、A點的坐標，分別計算進行比較即可得證．(2)直線方程與雙曲線方程聯立，得到關于x的一元二次方程，由x1·x2＜0可得a、b、c之間的關系，從中解出e的范圍． 　　解答　　(1)方法一 　　l：y＝－(x－c) 　　由得P(，) 　　∵成等比數列， 　　∴A(，0) 　　∴＝(0，－)，＝(，) 　　＝(－，)，∴·＝－ 　　·＝－．∴·＝· 　　方法二：同上得P(，)、A(，0) 　　∴PA⊥x軸，＝0 　　∴ 　　(2)由 　　得(b4－a4)x2＋2a4cx－a4c2－a2b4＝0 　　∴x1·x2＝＜0 　　∴b4＞a4即b2＞a2，c2－a2＞a2 　　∴e2＞2，e＞．