Question

在平面直角坐標系中，O是坐標原點，已知點A(3 ， 

3

)，點P（x，y）的坐標滿足

3 x-y≤0 x- 3 y+2≥0 y≥0

，設z為

OA

在

OP

上的投影，則z的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先根據約束條件畫出可行域，設z為

OA

在

OP

上的投影，再利用z的幾何意義求范圍，只需求出向量

OA

和

OP

的夾角的余弦值的取值范圍即可，從而得到z值即可．

解答：解：z=

OA • OP

| OP |

=|

OA

|•cos∠AOP=2

3

cos∠AOP，
∵∠AOP∈[

π

6

 ， 

5π

6

]，
∴當 ∠AOP=

π

6

時，zmax=2

3

cos

π

6

=3，
當 ∠AOP=

5π

6

時，zmin=2

3

cos

5π

6

=-3，
∴z的取值范圍是[-3，3]．
∴故答案為：[-3，3]．

點評：本題主要考查了用平面區域二元一次不等式組，以及簡單的轉化思想和數形結合的思想，屬中檔題．巧妙識別目標函數的幾何意義是我們研究規劃問題的基礎，縱觀目標函數包括線性的與非線性，非線性問題的介入是線性規劃問題的拓展與延伸，使得規劃問題得以深化．