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甲、乙兩人進行5次比賽，如果甲或乙無論誰勝了3次，則宣告比賽結束．假定甲獲勝的概率是
2
3
，乙獲勝的概率是
1
3
，試求：
（1）比賽以甲3勝1敗而宣告結束的概率；
（2）比賽以乙3勝2敗而宣告結束的概率；
（3）設甲先勝3次的概率為a，乙先勝3次的概率為b，求a：b．
分析：（1）以甲3勝1負而結束比賽，則甲第4次必勝而前3次必有1次為敗，故所求概率為 P=
C
1
3
•（1-
2
3
）(
2
3
)3，運算求得結果．
（2）以乙3勝2負而結束比賽，則乙第5次必勝而前4次必有2次敗，故所求概率為 P′=
C
2
4
•(1-
1
3
)2 (
1
3
)3，運算求得結果．
（3）甲先勝3次的情況有3種：3勝無敗、3勝1敗、3勝2敗，其概率分別為
8
27
，
8
27
，
16
81
．求得 a=
8
27
+
8
27
+
16
81
的值，可得 b-1的值，從而求得a：b 的值．
解答：解：（1）以甲3勝1負而結束比賽，則甲第4次必勝而前3次必有1次為敗．
∴所求概率為 P=
C
1
3
•（1-
2
3
）(
2
3
)3=
8
27
．（4分）
（2）以乙3勝2負而結束比賽，則乙第5次必勝而前4次必有2次敗．
∴所求概率為 P′=
C
2
4
•(1-
1
3
)2 (
1
3
)3=
8
81
 （9分）
（3）甲先勝3次的情況有3種：3勝無敗、3勝1敗、3勝2敗，其概率分別為
8
27
，
8
27
，
16
81
．
∴a=
8
27
+
8
27
+
16
81
=
64
81
，從而 b-1=1-
64
81
=
17
81
，
故 a：b=64：17．（13分）
點評：本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率與它的對立事件的概率之間的關系，體現了分類
討論的數學思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•遂寧二模）甲、乙二人進行射擊比賽．甲先射擊，乙后射擊，二人輪流進行．已知甲每次擊中目標的概率為
2
3
，乙每次擊中目標的概率為
1
2
，若某人射擊時出現連續兩次不中則被停止射擊，或若兩人均未出現連續不中，則各射擊5次后比賽也停止．
（Ⅰ）求甲恰在第三次射擊后停止比賽而乙尚未停止比賽的概率．
（Ⅱ）求甲停止比賽時，甲所進行的比賽次數ξ的數學期望．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

甲、乙二人進行射擊比賽．甲先射擊，乙后射擊，二人輪流進行．已知甲每次擊中目標的概率為數學公式，乙每次擊中目標的概率為數學公式，若某人射擊時出現連續兩次不中則被停止射擊，或若兩人均未出現連續不中，則各射擊5次后比賽也停止．
（Ⅰ）求甲恰在第三次射擊后停止比賽而乙尚未停止比賽的概率．
（Ⅱ）求甲停止比賽時，甲所進行的比賽次數ξ的數學期望．

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科目：高中數學 來源：遂寧二模 題型：解答題

甲、乙二人進行射擊比賽．甲先射擊，乙后射擊，二人輪流進行．已知甲每次擊中目標的概率為
2
3
，乙每次擊中目標的概率為
1
2
，若某人射擊時出現連續兩次不中則被停止射擊，或若兩人均未出現連續不中，則各射擊5次后比賽也停止．
（Ⅰ）求甲恰在第三次射擊后停止比賽而乙尚未停止比賽的概率．
（Ⅱ）求甲停止比賽時，甲所進行的比賽次數ξ的數學期望．

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科目：高中數學 來源：2011年四川省遂寧市高考數學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

甲、乙二人進行射擊比賽．甲先射擊，乙后射擊，二人輪流進行．已知甲每次擊中目標的概率為，乙每次擊中目標的概率為，若某人射擊時出現連續兩次不中則被停止射擊，或若兩人均未出現連續不中，則各射擊5次后比賽也停止．
（Ⅰ）求甲恰在第三次射擊后停止比賽而乙尚未停止比賽的概率．
（Ⅱ）求甲停止比賽時，甲所進行的比賽次數ξ的數學期望．

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