Question

設f(x)=

4x

4x+a

，且f（x）的圖象過點( 

1

2

，

1

2

 )，
（1）求f（x）表達式；
（2）計算f（x）+f（1-x）；
（3）試求f(

1

2007

)+f(

2

2007

)+f(

3

2007

)+…+f(

2005

2007

)+f(

2006

2007

)的值．

Answer 1

分析：（1）f（x）的圖象過點( 

1

2

，

1

2

 )，將其坐標代入函數解析式得到關于a的方程，求出a；
（2）由（1）f(x)=

4x

4x+2

，故有f（x）+f（1-x）=

4x

4x+2

+

41-x

41-x+2

，整理得其值為1；
（3）由（2）的結論，對函數f（x），當自變量的和為1時函數值和也為1，觀察f(

1

2007

)+f(

2

2007

)+f(

3

2007

)+…+f(

2005

2007

)+f(

2006

2007

)的形式發現，其可以分成1003組，每組的自變量的和為1，由此解法自明．

解答：解：（1）∵f(x)=

4x

4x+a

過點( 

1

2

，

1

2

 )
∴f(

1

2

)=

4 1 2

4 1 2 +a

=

2

2+a

=

1

2

，解得a=2∴f(x)=

4x

4x+2

（2）f(x)+f(1-x)=

4x

4x+2

+

41-x

41-x+2

=

4x(41-x+2)+41-x(4x+2)

(4x+2)(41-x+2)

=

8+2•4x+2•41-x

8+2•4x+2•41-x

=1
（3）∵f（x）+f（1-x）=1
∴f(

1

2007

)+f(

2006

2007

)=f(

2

2007

)+f(

2005

2007

)=…=f(

1002

2007

)+f(

1005

2007

)=f(

1003

2007

)+f(

1004

2007

)=1
f(

1

2007

)+f(

2

2007

)+f(

3

2007

)++f(

2005

2007

)+f(

2006

2007

)=1003

點評：本題考點是指數型函數，本題特點是其為一遞進式結構，后一問要用上上問的結論，本題是一個探究規律型的題，可以用來訓練答題者的觀察能力，技巧性較強．