Question

（（本小題滿分13分）

若為集合且的子集，且滿足兩個條件：

①；

②對任意的，至少存在一個，使或.

則稱集合組具有性質.

如圖，作行列數表，定義數表中的第行第列的數為.

		…
		…
…	…	…	…
		…

（Ⅰ）當時，判斷下列兩個集合組是否具有性質，如果是請畫出所對應的表格，如果不是請說明理由；

集合組1：；

集合組2：.

（Ⅱ）當時，若集合組具有性質，請先畫出所對應的行3列的一個數表，再依此表格分別寫出集合；

（Ⅲ）當時，集合組是具有性質且所含集合個數最小的集合組，求的值及的最小值.（其中表示集合所含元素的個數）

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）解：集合組1具有性質.                                ……………1分

所對應的數表為：

………………3分

集合組2不具有性質.                                      …………4分

因為存在，

有，

與對任意的，都至少存在一個，有或矛盾，

所以集合組不具有性質.      ………5分

（Ⅱ）

 ……………7分

.                 ………………8分

 （注：表格中的7行可以交換得到不同的表格，它們所對應的集合組也不同）

（Ⅲ）設所對應的數表為數表，

因為集合組為具有性質的集合組，

所以集合組滿足條件①和②，

由條件①：，

可得對任意，都存在有，

所以，即第行不全為0，

所以由條件①可知數表中任意一行不全為0.                   ………………9分

由條件②知，對任意的，都至少存在一個，使或，所以一定是一個1一個0，即第行與第行的第列的兩個數一定不同.

所以由條件②可得數表中任意兩行不完全相同.               ………………10分

因為由所構成的元有序數組共有個，去掉全是的元有序數組，共有個，

又因數表中任意兩行都不完全相同，所以，

所以.

又時，由所構成的元有序數組共有個，去掉全是的數組，共個，

選擇其中的個數組構造行列數表，則數表對應的集合組滿足條件①②，

即具有性質.

所以.              ……………12分

因為等于表格中數字1的個數，

所以，要使取得最小值，只需使表中1的個數盡可能少，

而時，在數表中，

的個數為的行最多行；

的個數為的行最多行；

的個數為的行最多行；

的個數為的行最多行；

因為上述共有行，所以還有行各有個，

所以此時表格中最少有個.

所以的最小值為304.                   ………………14分

 

【解析】略