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如果對于函數f（x）定義域內任意的x，都有f（x）≥M（M為常數），稱M為f（x）的下界，下界M中的最大值叫做f（x）的下確界．定義在[1，e]上的函數f（x）=2x-1+lnx的下確界M=
1
1
．
分析：根據題中函數下界和下確界的定義，得到函數的下確界是小于或等于函數f（x）在其定義域內的最小值的那個常數，然后利用導數研究函數f（x）=2x-1+lnx的單調性，得到它在區間[1，e]上是增函數，最小值為f（1）=1，從而得到函數的下確界M=1．
解答：解：∵對于函數f（x）定義域內任意的x，都有f（x）≥M（M為常數），
∴函數f（x）定義域內任意的x，[f（x）]min≥M
∵M為f（x）的下界，下界M中的最大值叫做f（x）的下確界．
∴下確界是小于或等于函數f（x）在其定義域內的最小值的常數
對于f（x）=2x-1+lnx，求導數得：f'（x）=2+
1
x
，其中x∈[1，e]
∵
1
x
∈[
1
e
，1]，
∴f'（x）≥2+
1
e
＞0
∴f（x）在區間[1，e]上是增函數，故[f（x）]min=f（1）=2×1-1+ln1=1
∴對任意的x∈[1，e]，f（x）≥1成立
函數的下界為小于或等于1的數，其中最大值為1，因此下確界M=1
故答案為：1
點評：本題以函數的下界和下確界為載體，著重考查了函數的單調性與最值的求法，考查了對不等式恒成立的理解，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如果對于函數f（x）的定義域內任意的x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|成立，那么就稱函數f（x）是定義域上的“平緩函數”．
（1）判斷函數f（x）=x2-x，x∈[0，1]是否是“平緩函數”；
（2）若函數f（x）是閉區間[0，1]上的“平緩函數”，且f（0）=f（1）．證明：對于任意
的x1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤
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成立．
（3）設a、m為實常數，m＞0．若f（x）=alnx是區間[m，+∞）上的“平緩函數”，試估計a的取值范圍（用m表示，不必證明）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

8、如果對于函數f（x）定義域內任意的兩個自變量的值x1，x2，當x1＜x2時，都有f（x1）≤f（x2），且存在兩個不相等的自變量值y1，y2，使得f（y1）=f（y2），就稱f（x）為定義域上的不嚴格的增函數，已知函數g（x）的定義域、值域分別為A、B，A=1，2，3，B⊆A，且g（x）為定義域A上的不嚴格的增函數，那么這樣的g（x）共有（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

如果對于函數f（x）的定義域內的任意x1，x2都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|成立，那么就稱函數f（x）是定義域上的“平緩函數”．
（1）判斷函數f（x）=x2-x，x∈[0，1]是否是“平緩函數”？
（2）若函數f（x）是閉區間[0，1]上的“平緩函數”，且f（0）=f（1）．證明：對任意的x，x2∈[0，1]都有|f(x1)-f(x2)|≤
12
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

定義在D上的函數f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的上界．如果對于函數f（x）的所有上界中有一個最小的上界，就稱其為函數f（x）的上確界．已知函數f(x)=1+a•(
1
2
)x+(
1
4
)x，g(x)=
1-m•2x
1+m•2x
．
（1）當a=1時，求函數f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷函數f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數，請說明理由；
（2）若函數f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數，求實數a的取值范圍；
（3）若m＞0，求函數g（x）在[0，1]上的上確界T（m）．

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