Question

一條雙曲線

x2

4

-y2=1的左、右頂點分別為A₁，A₂，點M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁）是雙曲線上不同的兩個動點．
（1）求直線A₁M與A₂N交點的軌跡E的方程式；
（2）設直線l與曲線E相交于不同的兩點A，B，已知點A的坐標為（-2，0），若點Q（0，y₀）在線段AB的垂直平分線上，且

QA

•

QB

=4．求y₀的值．

Answer 1

分析：（1）由A1M：y=

y1

x1+2

(x+2)，A2N：y=

-y1

x1-2

(x-2)，兩式相乘得-y2=

y 2 1

x 2 1 -4

(x2-4)，而點M（x₁，y₁）在雙曲線上，所以

y12

x12-4

=

1

4

，由此能求出軌跡E的方程．
（2）由（1）可知A（-2，0）．設B點的坐標為（x₁，y₁），直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+2），于是A，B兩點的坐標滿足方程組

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，整理，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，由-2x1=

16k2-4

1+4k2

，得x1=

2-8k2

1+4k2

，從而y1=

4k

1+4k2

，由此入手能夠求出y₀的值．

解答：解：（1）由A1M：y=

y1

x1+2

(x+2)，A2N：y=

-y1

x1-2

(x-2)，…（2分）
兩式相乘得-y2=

y 2 1

x 2 1 -4

(x2-4)，而點M（x₁，y₁）在雙曲線上，所以

y12

x12-4

=

1

4

…（2分）
所以軌跡E的方程為

x2

4

-

y2

2

=1．…．（1分）
（2）解：由（1）可知A（-2，0）．設B點的坐標為（x₁，y₁），直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+2），
于是A，B兩點的坐標滿足方程組

y=k(x+2) x2 4 - y2 2 =1

，
由方程組消去y并整理，得（1-2k²）x²-8k²x-（8k²+4）=0，…（1分）
由-2x1=

16k2-4

1+4k2

，得x1=

2-8k2

1+4k2

，從而y1=

4k

1+4k2

，
設線段AB是中點為M，則M的坐標為（-

8k2

1+4k2

，

2k

1+4k2

），…（1分）
①當k=0時，點B的坐標為（2，0）．線段AB的垂直平分線為y軸，于是

QA

=(-2，-y0)，

QB

=(2，-y0)，由

QA

•

QB

=4，得y0=± 2

2

．…（1分）
②當k≠0時，線段AB的垂直平分線方程為Y-

2k

1+4k2

=-

1

k

(x+

8k2

1+4k2

)，
令x=0，解得y0=

-6k

1+4k2

，由

QA

=(-2，-y0)，

QB

=(x1，y1-y0)，

QA

•

OB

=-2x1-y0(y1-y0)
=

-2(2-8k2)

1+4k2

+

6k

1+4k2

（

4k

1+4k2

+

6k

1+4k2

）
=

4(16k4+15k2-1)

(1+4k2)2

=4，…（2分）
整理得7k²=2，故k=±

14

7

，∴y0=±

2 14

5

．
綜上y0=±2

2

或y0=±

2 14

5

．…（2分）

點評：本題考查雙曲線方程和橢圓方程的求法，考查雙曲線方程和橢圓方程的簡單性質以直線和圓錐曲線的位置關系的綜合應用，查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．