Question

已知雙曲線C的方程為-=1(a>0,b>0),離心率e=,頂點到漸近線的距離為.

(1)求雙曲線C的方程;

(2)如圖,P是雙曲線C上一點,A、B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上,且分別位于第一、二象限.若=λ,λ∈.求△AOB的面積的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1) -x2=1 (2)

【解析】

解:(1)由題意知,雙曲線C的頂點(0,a)到漸近線ax-by=0的距離為,

∴=,即=.

由得

∴雙曲線C的方程為-x2=1.

(2)由(1)知雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±2x,

設A(m,2m),B(-n,2n),m>0,n>0.

由=λ得P點坐標為,

將P點坐標代入-x2=1,化簡得mn=.

設∠AOB=2θ,∵tan(-θ)2.

∴tanθ=,sin2θ=.

又|OA|=m,|OB|=n,

∴S△AOB=|OA|·|OB|·sin2θ

=2mn

=+1,

記S(λ)=+1,λ∈.

則S′(λ)=.

由S′(λ)=0得λ=1.

又S(1)=2,S=,S(2)=,

∴當λ=1時,△AOB的面積取得最小值2,當λ=時,

△AOB的面積取得最大值.

∴△AOB面積的取值范圍是.