Question

已知函數f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R.

(1)當a＝0時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率；

(2)當a≠時，求函數f(x)的單調區間與極值．

 

Answer 1

(1)3e(2) 所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)內是增函數，在(a－2，－2a)內是減函數．函數f(x)在x＝a－2處取得極大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.函數f(x)在x＝－2a處取得極小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.

【解析】(1)當a＝0時，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率為3e.

(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.

令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2.由a≠知，－2a≠a－2.

以下分兩種情況討論．

①若a>，則－2a<a－2.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，－2a)	－2a	(－2a，a－2)	a－2	(a－2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)		極大值		極小值

所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)內是增函數，在(－2a，a－2)內是減函數．

函數f(x)在x＝－2a處取得極大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.

函數f(x)在x＝a－2處取得極小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.

②若a<，則－2a>a－2.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，a－2)	a－2	(a－2，－2a)	－2a	(－2a，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)		極大值		極小值

所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)內是增函數，在(a－2，－2a)內是減函數．

函數f(x)在x＝a－2處取得極大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.

函數f(x)在x＝－2a處取得極小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a