Question

18. 如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°.側棱AA₁＝2，D、E分別是CC₁與A₁B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.

（Ⅰ）求A₁B與平面ABD所成角的大小（結果用反三角函數值表示）；

（Ⅱ）求點A₁到平面AED的距離.

Answer 1

18.

（Ⅰ）解：連結BG，則BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A₁B與平面ABD所成的角.

設F為AB中點，連結EF、FC，

∵D、E分別是CC₁、A₁B的中點，又DC⊥平面ABG，

∴CDEF為矩形.

連結DF，G是△ADB的重心，∴GDF.

 

在直角三角形EFD中，EF²＝FG·FD＝FD²，

∵EF＝1∴FD＝.于是ED＝，EG＝＝，

 

∵FG＝ED＝，∴AB＝2，A₁B＝2，EB＝，

∴sinEBG==·＝，

∴A₁B與平面ABD所成的角是arcsin.

（Ⅱ）解法一：∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB＝F，

∴ED⊥面A₁AB，

又ED面AED，

∴平面AED⊥平面A₁AB，且面AED∩面A₁AB＝AE.

作A₁K⊥AE，垂足為K，

∴A₁K⊥平面AED.即A₁K是A₁到平面AED的距離.

在△A₁AB₁中，A₁K＝＝＝，

∴A₁到平面AED的距離為.

解法二：連結A₁D，有＝.

　∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB＝F，

∴ED⊥平面A₁AB，

設A₁到平面AED的距離為h，

則       ·h=·ED.

又＝＝A₁A·AB＝，

＝AE·ED＝.

∴h==.

即A₁到平面AED的距離為.